Функции факторинга: Понятие, основные виды и функции факторинга

Выделяя наибольший общий множитель, мы делаем это в обратном порядке. Мы замечаем, что в каждом члене есть \ (a \), и поэтому мы «факторизуем» его, используя закон распределения в обратном порядке:

Давайте рассмотрим несколько примеров.5} — 3x + 1} \ right) \]

Обратите внимание на «+1», где 3 \ (x \) изначально было в последнем члене, поскольку последний член был термином, который мы вычленили, нам нужно было напомнить себе, что изначально там был термин. Для этого нам понадобится «+1» и обратите внимание, что это «+1» вместо «-1», потому что термин изначально был положительным. Если бы изначально это был отрицательный термин, нам пришлось бы использовать «-1».

Одна из наиболее распространенных ошибок, связанных с этим типом задач факторинга, — это забыть об этой «1».2} + 6 \) Показать решение

У этого термина также есть «-» перед третьим членом, как мы видели в предыдущей части. Однако на этот раз перед четвертым членом стоит знак «+», в отличие от последней части. Мы по-прежнему будем вычеркивать «-» при группировке, чтобы убедиться, что мы не теряем его из виду. Когда мы выносим за скобки «-», обратите внимание, что нам нужно заменить «+» в четвертом члене на «-». Опять же, вы всегда можете проверить, что это было сделано правильно, умножив «-» на круглые скобки.3} — 2} \ right) \]

Факторинг по группировке может быть приятным, но срабатывает не так уж часто. Обратите внимание, что, как мы видели в последних двух частях этого примера, если перед третьим членом стоит «-», мы часто также вычленяем его из третьего и четвертого терминов, когда мы их группируем.

Разложение квадратичных многочленов на множители

Во-первых, отметим, что квадратичный — это еще один термин, обозначающий многочлен второй степени. Итак, мы знаем, что наибольший показатель квадратичного многочлена будет равен 2.{2} \), и единственный способ добиться этого — это умножить \ (x \) на \ (x \). Следовательно, первый член в каждом множителе должен быть \ (x \). Чтобы закончить это, нам просто нужно определить два числа, которые должны стоять на пустых местах.

Мы можем значительно сузить возможности. После умножения двух множителей эти два числа нужно будет умножить, чтобы получить -15. Другими словами, эти два числа должны быть множителями -15. Вот все возможные способы множителя -15, используя только целые числа.

Теперь мы можем просто вставить их один за другим и умножать, пока не получим правильную пару. Однако есть еще одна хитрость, которую мы можем использовать здесь, чтобы помочь нам. Чтобы получить коэффициент при члене \ (x \), необходимо сложить правильную пару чисел.2} \) означает умножение 3 \ (x \) и \ (x \), это должны быть первые два члена. Однако найти числа для двух пробелов будет не так просто, как в предыдущих примерах. Нам нужно будет начать со всеми множителями -8.

На данный момент единственный вариант — выбрать пару, подключить их и посмотреть, что произойдет, когда мы умножим члены. 2} + 2x — 8 \]

Итак, мы получили.2} — 17x + 6 = \ left ({5x + \ underline {\, \, \, \,}} \ right) \ left ({x + \ underline {\, \, \, \,}} \ right ) \]

Далее нам нужны все множители 6. Вот они.

Не забывайте о негативных факторах. Часто именно они нам и нужны. Фактически, заметив, что коэффициент при \ (x \) отрицателен, мы можем быть уверены, что нам понадобится одна из двух пар отрицательных факторов, поскольку это будет единственный способ получить там отрицательный коэффициент.2} + 10x — 6 & = \ left ({2x + \ underline {\, \, \, \,}} \ right) \ left ({2x + \ underline {\, \, \, \,}} \ вправо) \ end {align *} \]

Чтобы заполнить пробелы, нам понадобятся все множители -6. 2} + 10x — 6 = \ left ({2x — 1} \ right) \ left ({2x + 6} \ right) \]

Также обратите внимание, что на этапе проб и ошибок мы должны убедиться и включить каждую пару в обе возможные формы и в оба возможных порядка, чтобы правильно определить, является ли это правильной парой факторов или нет.2} \]

Это просто неверно для подавляющего большинства сумм квадратов, поэтому будьте осторожны, чтобы не совершить эту очень распространенную ошибку. Есть редкие случаи, когда это можно сделать, но ни один из этих особых случаев здесь не рассматривается.

Факторинговые многочлены со степенью больше 2

В целом не существует единого метода для этого. Однако есть некоторые, что мы можем сделать, поэтому давайте рассмотрим несколько примеров.

Обратите внимание, что это преобразование в \ (u \) вначале может быть полезно в некоторых случаях, однако, как только вы к этому привыкнете, это обычно происходит в наших головах.

Мы не сделали здесь много задач и не рассмотрели все возможности. Тем не менее, мы рассмотрели некоторые из наиболее распространенных приемов, с которыми мы можем столкнуться в других главах этой работы.

Факторинговые квадратные уравнения — методы и примеры

Есть ли у вас представление о факторизации многочленов ? Поскольку теперь у вас есть основная информация о многочленах, мы узнаем, как решать квадратичные многочлены с помощью факторизации.

Прежде всего, давайте быстренько рассмотрим квадратное уравнение . Квадратное уравнение — это многочлен второй степени, обычно в форме f (x) = ax ² + bx + c, где a, b, c, ∈ R, и a ≠ 0. Термин «a» означает называется старшим коэффициентом, а «c» — абсолютным членом f (x).

Каждое квадратное уравнение имеет два значения неизвестной переменной, обычно называемых корнями уравнения (α, β). Мы можем получить корни квадратного уравнения, разложив уравнение на множители.

По этой причине факторизация является фундаментальным шагом на пути к решению любого уравнения в математике. Давайте разберемся.

Как разложить квадратное уравнение на множители?

Факторинг квадратного уравнения можно определить как процесс разбиения уравнения на произведение его факторов. Другими словами, мы также можем сказать, что факторизация — это обратное умножению.

Для решения квадратного уравнения ax ² + bx + c = 0 путем факторизации используются следующие шаги :

• Разверните выражение и при необходимости очистите все дроби.
• Переместите все члены в левую часть знака равенства.
• Факторизуйте уравнение, разбив средний член.
• Приравняйте каждый коэффициент к нулю и решите линейные уравнения

Пример 1

Решите: 2 (x ² + 1) = 5x

Решение

Разверните уравнение и переместите все члены слева от знака равенства.

⟹ 2x ² — 5x + 2 = 0

⟹ 2x ² — 4x — x + 2 = 0

⟹ 2x (x — 2) — 1 (x — 2) = 0

⟹ ( x — 2) (2x — 1) = 0

Приравняем каждый множитель к нулю и решим

⟹ x — 2 = 0 или 2x — 1 = 0

⟹ x = 2 или x = 1212

Следовательно, решения x = 2, 1/2.

Пример 2

Решить 3x ² — 8x — 3 = 0

Решение

3x ² — 9x + x — 3 = 0

⟹ 3x (x — 3) + 1 (x — 3) = 0

⟹ (x — 3) (3x + 1) = 0

⟹ x = 3 или x = -13

Пример 3

Решите следующее квадратное уравнение ( 2x — 3) ² = 25

Решение

Разверните уравнение (2x — 3) ² = 25, чтобы получить;

⟹ 4x ² — 12x + 9-25 = 0

⟹ 4x ² — 12x — 16 = 0

Разделите каждый член на 4, чтобы получить;

⟹ x ² — 3x — 4 = 0

⟹ (x — 4) (x + 1) = 0

⟹ x = 4 или x = -1

Существует множество методов факторизации квадратных уравнений. В этой статье мы сделаем акцент на том, как разложить квадратные уравнения на множители, в которых коэффициент при x ² равен 1 или больше 1.

Таким образом, мы будем использовать метод проб и ошибок, чтобы получить правильные множители. для данного квадратного уравнения.

Факторинг, когда коэффициент x

Чтобы разложить квадратное уравнение вида x ² + bx + c, старший коэффициент равен 1. Вам необходимо определить два числа, произведение и сумма которых равны c и b соответственно.

СЛУЧАЙ 1: Когда b и c положительны

Пример 4

Решите квадратное уравнение: x ² + 7x + 10 = 0

Перечислите множители 10:

1 × 10, 2 × 5

Определите два множителя с произведением 10 и суммой 7:

1 + 10 ≠ 7
2 + 5 = 7.

Проверьте множители, используя свойство распределения умножения.

(x + 2) (x + 5) = x ² + 5x + 2x + 10 = x ² + 7x + 10

Факторы квадратного уравнения: (x + 2) (x + 5)

Приравнивание каждого множителя к нулю дает;

x + 2 = 0 ⟹x = -2

x + 5 = 0 ⟹ x = -5

Следовательно, решение x = — 2, x = — 5

Пример 5

х ² + 10х + 25.

Решение

Определите два фактора с произведением 25 и суммой 10.

5 × 5 = 25 и 5 + 5 = 10

Проверьте факторы.

x ² + 10x + 25 = x ² + 5x + 5x + 25

= x (x + 5) + 5x + 25

= x (x + 5) + 5 (x + 5)

= (x + 5) (x + 5)

Следовательно, x = -5 — это ответ.

СЛУЧАЙ 2: Когда b положительно, а c отрицательно

Пример 6

Решите x ² + 4x — 5 = 0

Решение

Запишите множители -5.

1 × –5, –1 × 5

Определите факторы, произведение которых равно — 5, а сумма равна 4.

1 — 5 ≠ 4
–1 + 5 = 4

Проверьте факторы, используя свойство распределения.

(x — 1) (x + 5) = x ² + 5x — x — 5 = x ² + 4x — 5
(x — 1) (x + 5) = 0

x — 1 = 0 ⇒ x = 1 или
x + 5 = 0 ⇒ x = -5

Следовательно, x = 1, x = -5 — решения.

СЛУЧАЙ 3: Когда b и c отрицательны

Пример 7

x ² — 5x — 6

Решение

Запишите множители — 6:

1 × –6, –1 × 6, 2 × –3, –2 × 3

Теперь определите факторы, произведение которых равно -6, а сумма равна –5:

1 + (–6) = –5

Проверьте коэффициенты используя распределительное свойство.

(x + 1) (x — 6) = x ² — 6 x + x — 6 = x ² — 5x — 6

Приравняйте каждый множитель к нулю и решите, чтобы получить;
(x + 1) (x — 6) = 0

x + 1 = 0 ⇒ x = -1, или
x — 6 = 0 ⇒ x = 6

Следовательно, решение x = 6, x = -1

СЛУЧАЙ 4: Когда b отрицательно, а c положительно

Пример 8

x ² — 6x + 8 = 0

Решение

Запишите все множители 8 .

–1 × — 8, –2 × –4

Определите факторы, произведение которых равно 8, а сумма равна -6
–1 + (–8) ≠ –6
–2 + (–4) = –6

Проверьте коэффициенты с помощью распределительного свойства.

(x — 2) (x — 4) = x ² — 4 x — 2x + 8 = x ² — 6x + 8

Теперь приравняйте каждый множитель к нулю и решите выражение, чтобы получить;

(x — 2) (x — 4) = 0

x — 2 = 0 ⇒ x = 2 или
x — 4 = 0 ⇒ x = 4

Пример 9

Разложить на множители x ² + 8x + 12.

Решение

Запишите множители 12;

12 = 2 × 6 или = 4 × 3
Найдите множители, сумма которых равна 8:

2 + 6 = 8
2 × 6 ≠ 8

Используйте свойство распределения, чтобы проверить множители;

= x ² + 6x + 2x + 12 = (x ² + 6x) + (2x + 12) = x (x + 6) +2 (x + 6)

= x (x + 6 ) +2 (x + 6) = (x + 6) (x + 2)

Приравняем каждый множитель к нулю, чтобы получить;

(x + 6) (x + 2)

x = -6, -2

Факторинг, когда коэффициент x

Иногда старший коэффициент квадратного уравнения может быть больше чем 1.В этом случае мы не можем решить квадратное уравнение, используя общие множители.

Следовательно, нам нужно рассмотреть коэффициент при x ² и множители при c, чтобы найти числа, сумма которых равна b.

Пример 10

Решите 2x ² — 14x + 20 = 0

Решение

Определите общие множители уравнения.

2x ² — 14x + 20 ⇒ 2 (x ² — 7x + 10)

Теперь мы можем найти множители (x ² — 7x + 10).Поэтому запишите коэффициенты 10:

–1 × –10, –2 × –5

Определите коэффициенты, сумма которых равна — 7:

1 + (–10) ≠ –7
–2 + (–5) = –7

Проверьте коэффициенты, применив свойство распределения.

2 (x — 2) (x — 5) = 2 (x ² — 5 x — 2x + 10)
= 2 (x ² — 7x + 10) = 2x ² — 14x + 20

Приравняйте каждый множитель к нулю и решите;
2 (x — 2) (x — 5) = 0

x — 2 = 0 ⇒ x = 2 или
x — 5 = 0 ⇒ x = 5

Пример 11

Решить 7x ² + 18x + 11 = 0

Решение

Запишите множители 7 и 11.

7 = 1 × 7

11 = 1 × 11

Примените свойство распределения для проверки факторов, как показано ниже:

(7x + 1) (x + 11) ≠ 7x ² + 18x + 11

(7x + 11) (x + 1) = 7x ² + 7x + 11x + 11 = 7x ² + 18x + 11

Теперь приравняйте каждый множитель к нулю и решите, чтобы получить;

7x ² + 18x + 11 = 0
(7x + 11) (x + 1) = 0

x = -1, -11/7

Пример 12

Решить 2x ² — 7x + 6 = 3

Решение

2x ² — 7x + 3 = 0

(2x — 1) (x — 3) = 0

x = 1/2 или x = 3

Пример 13

Решить 9x ² + 6x + 1 = 0

Решение

Разложите на множители, чтобы получить:

(3x + 1) (3x + 1) = 0

(3x + 1) = 0,

Следовательно, x = −1 / 3

Пример 14

Разложить на множители 6x ² — 7x + 2 = 0

Решение

6x ² — 4x — 3x + 2 = 0

Разложите выражение на множители;

⟹ 2x (3x — 2) — 1 (3x — 2) = 0

⟹ (3x — 2) (2x — 1) = 0

⟹ 3x — 2 = 0 или 2x — 1 = 0

⟹ 3x = 2 или 2x = 1

⟹ x = 2/3 или x = ½

Пример 15

Факторизация x ² + (4 — 3y) x — 12y = 0

Решение

Разверните уравнение;

x ² + 4x — 3xy — 12y = 0

Разложить на множители;

⟹ x (x + 4) — 3y (x + 4) = 0

x + 4) (x — 3y) = 0

⟹ x + 4 = 0 или x — 3y = 0

⟹ x = -4 или x = 3y

Таким образом, x = -4 или x = 3y

Решите следующие квадратные уравнения путем факторизации:

1. 3x ² — 20 = 160 — 2x ²
2. (2x — 3) ² = 49
3. 16x ² = 25
4. (2x + 1) ² + (x + 1) ² = 6x + 47
5. 2x ² + x — 6 = 0
6. 3x ² = x + 4
7. (x — 7) (x — 9) = 195
8. x ² — (a + b) x + ab = 0
9. x ² + 5 x + 6 = 0
10. x ² -2 x — 15 = 0

Ответы

1. 6, -6
2. -2, 5
3. — 5/4, 5/4
4. -3, 3
5. -2, 3/2
6. -1 , 4/3
7. -6, 22
8. a, b
9. –3, –2
10. 5, — 3

Построение графиков квадратных уравнений с использованием факторинга

Квадратное уравнение это многочлен уравнение степень 2 . Стандартная форма квадратного уравнения:

0 знак равно а Икс 2 + б Икс + c

куда а , б а также c все реальные числа и а ≠ 0 .

Если мы заменим 0 с участием у , то получаем квадратичная функция

у знак равно а Икс 2 + б Икс + c

чей график будет парабола .

Точки пересечения графика Икс -оси будут решениями уравнения, а Икс 2 + б Икс + c знак равно 0 . То есть, если многочлен а Икс 2 + б Икс + c может быть учтен на ( Икс — п ) ( Икс — q ) , мы знаем по свойство нулевого продукта что если ( Икс — п ) ( Икс — q ) знак равно 0 , или ( Икс — п ) знак равно 0 или ( Икс — q ) знак равно 0 . потом п а также q являются решениями уравнения а Икс 2 + б Икс + c знак равно 0 и поэтому Икс -перехваты квадратного уравнения.

Поскольку Икс -координата вершина параболы это точно середина Икс -перехватывает , то Икс -координата вершины будет п + q 2 .

Вы можете использовать Икс -координата вершины для нахождения у -координат.

Теперь у вас есть вершина и 2 другие точки параболы (а именно, Икс -перехватывает). Вы можете использовать эти три точки для построения графика.

Пример 1:

Постройте график функции у знак равно Икс 2 — 8 Икс + 12 с использованием факторинга.

Сравните уравнение со стандартной формой, у знак равно а Икс 2 + б Икс + c . Поскольку значение а положительный, парабола открывается.

Разложите на множители трехчлен, Икс 2 — 8 Икс + 12 . Идентифицировать 2 числа, сумма которых — 8 и продукт 12 .Цифры — 2 а также — 6 . То есть, Икс 2 — 8 Икс + 12 знак равно ( Икс — 2 ) ( Икс — 6 ) .

Икс 2 — 8 Икс + 12 знак равно 0 ⇒ ( Икс — 2 ) ( Икс — 6 ) знак равно 0

Итак, по свойству нулевого продукта либо ( Икс — 2 ) знак равно 0 или ( Икс — 6 ) знак равно 0 . Тогда корни уравнения равны 2 а также 6 .

Следовательно Икс -перехваты функции 6 а также 2 .

В Икс -координата вершины — это середина х-точек пересечения. Итак, вот Икс -координата вершины будет 2 + 6 2 знак равно 4 .

Заменять Икс знак равно 4 в уравнении у знак равно Икс 2 — 8 Икс + 12 найти у -координата вершины.

у знак равно ( 4 ) 2 — 8 ( 4 ) + 12 знак равно 16 — 32 + 12 знак равно — 4

То есть координаты вершины равны ( 4 , — 4 ) .

Теперь у нас 3 очка ( 4 , — 4 ) , ( 2 , 0 ) а также ( 6 , 0 ) которые находятся на параболе. Нанесите точки. Соедините их плавной кривой и продолжите параболу.

Пример 2:

Постройте график функции у знак равно — Икс 2 — 2 Икс + 8 с использованием факторинга.

Сравните уравнение со стандартной формой, у знак равно а Икс 2 + б Икс + c . Поскольку значение а положительный, парабола открывается.

Разложите на множители трехчлен, — Икс 2 — 2 Икс + 8 .

Во-первых, фактор вне — 1 .

— Икс 2 — 2 Икс + 8 знак равно — 1 ( Икс 2 + 2 Икс — 8 )

Разложите выражение на множители в скобках. Идентифицировать 2 числа, сумма которых 2 и продукт — 8 .Цифры 4 а также — 2 . То есть, Икс 2 + 2 Икс — 8 знак равно ( Икс + 4 ) ( Икс — 2 ) .

Тогда данная функция принимает вид у знак равно — ( Икс + 4 ) ( Икс — 2 ) .

Так, у знак равно 0 следует из свойства нулевого продукта, Икс + 4 знак равно 0 или Икс — 2 знак равно 0 .

Следовательно Икс -перехваты графика — 4 а также 2 .

В Икс -координата вершины параболы — середина Икс -перехватывает.Итак, вот Икс -координата вершины будет — 4 + 2 2 знак равно — 1 .

Заменять Икс знак равно — 1 в уравнении у знак равно — Икс 2 — 2 Икс + 8 найти у -координата вершины.

у знак равно — ( — 1 ) 2 — 2 ( — 1 ) + 8 знак равно — 1 + 2 + 8 знак равно 9

Итак, координаты вершины равны ( — 1 , 9 ) .

Теперь у нас есть 3 точки ( — 1 , 9 ) , ( — 4 , 0 ) а также ( 2 , 0 ) которые находятся на параболе. Нанесите точки. Соедините их плавной кривой и продолжите параболу.

Факторинговые многочлены

Наибольшие общие факторы

Если все члены полинома содержат один или несколько идентичных множителей, объедините эти похожие множители в один моном, называемый наибольшим общим множителем , и перепишите полином в факторизованной форме.

Пример 1: Разложите выражения на множители.

15 x ³ + 5 x ² −25 x

Поскольку каждый член полинома делится как на x , так и на 5, наибольший общий делитель равен 5 x . В факторизованной форме многочлен записывается как 5 x (3 x ² + x — 5).

18 x ³ y ⁵ z ⁴ + 6 x ² yz ³ — 9 x ² y

8 3 z ²

Наибольший моном, на который каждый из членов делится без остатка, таким образом, наибольший общий делитель, равен 3 x ² yz ² , поэтому вычтите его за множитель.

Факторинг по группировке

Иногда наибольший общий фактор выражения — это не просто одночлен, а целая величина в скобках. Вам разрешено вычитать количества в скобках так же, как вы можете вычитать отдельные термины.

Пример 2: Разложите следующие выражения на множители.

3 x ( x — 5) + 2 y ( x — 5) — 10 ( x — 5)

Единственное, что делится на каждый из этих членов равномерно, — это линейное выражение ( x — 5).Вынесите его за скобки, как если бы вы делали любой наибольший общий множитель, оставив одночлен в каждом члене, умноженном на ( x — 5):

3 x ² — 6 x — 4 x + 8

Ничто, кроме числа 1, не делится равномерно на каждое из членов, и нет смысла вычитать 1. Однако первые два члена имеют наибольший общий множитель 3 x . Кроме того, если вынести -4 из последних двух членов, вы можете разложить их по группам:

Факторинг квадратичных трехчленов

Ваша самая распространенная задача разложения на множители, помимо наибольшего общего разложения, — это преобразование квадратного трехчлена в произведение двух линейных биномов.

Пример 3: Разложите следующие выражения на множители.

x ² — 4 x — 12

Если ведущий коэффициент равен 1, как здесь, процесс прост. Найдите два числа, сумма которых равна коэффициенту при члене x , а произведение которых равно постоянному члену. Единственные два числа, сумма которых равна −4 и которые умножаются, чтобы дать −12, — это −6 и 2. Используйте их как константы в линейных множителях:

x ² -10 x + 24

Так как этот квадратный трехчлен имеет старший коэффициент 1, найдите два числа с произведением 24 и суммой −10.Поэкспериментировав, вы обнаружите, что эти числа равны −6 и −4:

.

2 x ² + 9 x — 5

Если ведущий коэффициент не равен 1, необходимо выполнить другую процедуру. Вы по-прежнему ищете два числа, и эти числа все равно дадут в сумме 9. Однако они умножатся и вы получите −10, произведение ведущего коэффициента и константы. (Вам не нужно было использовать эту технику, когда ведущий коэффициент был равен 1, поскольку произведение ведущего коэффициента и константы в любом случае было бы константой.) Рассматриваемые числа — 10 и -1. Перепишите коэффициент x как сумму этих чисел:

Распределите x как на 10, так и на −1:

До финиша, фактор по группировке:

Шаблоны специальных коэффициентов

Иногда единственное усилие, которое вам придется приложить для решения проблемы факторизации, — это признать, что рассматриваемый многочлен соответствует одному из трех конкретных шаблонов.Вам следует запомнить каждую из этих формул, чтобы сразу их заметить:

• Разница полных квадратов: x ² — a ² = ( x + a ) ( x — a )

• Разница идеальных кубов: a ³ — b ³ = ( a xs — b ) ( a ² + ab + b ² )

• Сумма идеальных кубов: a ³ + b ³ = ( a + b ) ( a ² — ab + b ² )

Пример 4: Полностью разложите следующие выражения на множители.

27 x ³ + 8

Обратите внимание, что 27 x ³ и 8 являются идеальными кубами, поэтому примените формулу суммы идеальных кубов:

20 x ² -405

Похоже, это не соответствует ни одному из шаблонов, но для начала вы можете вычесть наибольший общий множитель 5:

Теперь более ясно, что (4 x ² — 81) является разностью полных квадратов, поскольку (2 x ) ² = 4 x ² и 9 ² = 81:

факторинговых многочленов: практические инструкции | Purplemath

Purplemath

Как указывалось на предыдущей странице, синтетическое деление можно использовать для проверки того, является ли данное значение x нулем полиномиальной функции (путем возврата нулевого остатка), а также его можно использовать для деления линейного множителя. от этого многочлена (оставляя один с многочленом меньшей степени).

Из-за этой тесной связи между нулями (полиномиальных функций) и решениями (полиномиальных уравнений) методы, используемые для «решения» полиномов, могут быть одинаково хорошо применены для нахождения полной факторизации полинома.

MathHelp.com

Основное различие между упражнениями «решение» на предыдущей странице и упражнениями «факторинг» на этой странице состоит в том, что для факторинга мы должны отслеживать любые числа, которые мы делим.Примером этого может быть 2, которые я выделил из квадратичной в конце примера на предыдущей странице. Когда мы решаем «(многочлен) равен нулю», нас не заботит, действительно ли на каком-то этапе уравнение было «2 × (многочлен) равен нулю». Но, что касается факторинга, мы заботимся об этих начальных 2.

Кроме того, когда мы выполняем упражнения по факторингу, нам может потребоваться использовать формулы разности или суммы кубов для некоторых упражнений. Это менее распространено при решении.

С другой стороны, полиномы для упражнений на «факторизацию» обычно включают более точные числа, без значений комплексных чисел или беспорядочных квадратных корней, характерных для упражнений «решение».

• Полностью множитель: 30

  x ⁵ — 166 x ⁴ — 542 x ³ + 2838 x ² + 1520 x — 800

Все коэффициенты четные, так что я могу вынести 2 сразу. Но это не уравнение «равно нулю», поэтому я не могу просто «разделить» 2, чтобы оно исчезло.Вместо этого мне придется не забыть включить множитель 2 в мою окончательную формулировку факторинга.

На данный момент у меня есть следующее:

2 (15 x ⁵ -83 x ⁴ -271 x ³ + 1419 x ² + 760 x -400)

Даже после того, как отложил 2, я все еще застрял с некоторыми довольно большими числами:

15 x ⁵ -83 x ⁴ -271 x ³ + 1419 x ² + 760 x -400

Тест рациональных корней дал мне ошеломляюще длинный список возможных корней, включая множество дробей.По крайней мере, сначала я буду придерживаться целочисленного множителя, равного 400. Я выясню весь длинный список позже — если потребуется.

Поскольку решения многочленов обычно довольно «близки к середине», я не буду утруждать себя тестированием решений типа x = 400 в моем синтетическом подразделении, по крайней мере, на начальном этапе. Вместо этого я буду стараться делать первые предположения небольшими.

Но прежде чем я начну гадать, я проверим график:

Похоже, что –4 и 5 были бы отличным первым выбором для моего синтетического дивизиона.График при x = 5 отскакивает от оси, поэтому я предполагаю, что это повторяющийся корень. Сначала я попробую синтетический дивизион, а потом попробую дважды:

Итак, я вытащил две копии множителя x — 5. Я знаю взятые множители; последняя строка синтетического деления выше говорит мне, что мой полином теперь:

2 ( x — 5) ² (15 x ³ + 67 x ² + 24 x — 16)

Часть выражения, которую я оставил для разложения, — это кубика в последних скобках выше.(Откуда я узнал, что это кубик? Потому что мне дали что-то пятой степени, и я вычеркнул два линейных множителя.)

Филиал

Чтобы проверить свою работу (и подтвердить идентичность последнего «хорошего» нуля), я построю график полиномиальной функции, связанной с оставшимся кубическим фактором, равным 15 x ³ + 67 x ² + 24 x — 16:

Итак, похоже, что x = –4 — все еще значение, которое я хочу проверить.Вот мое синтетическое подразделение:

Я был прав; x = –4 — ноль. Если вычесть коэффициент x + 4, у меня останется только квадратичный коэффициент:

Я могу использовать обычные методы факторинга, чтобы завершить факторинг:

15 x ² + 7 x — 4 = (5 x + 4) (3 x — 1)

(Между прочим, эти два фактора создали два «беспорядочных» корня на графике:

Теперь мне нужно вернуться к своей работе и собрать все мои факторы, начиная с первых двух, которые я исключил. Моя полная факторизация:

2 ( x — 5) ² ( x + 4) (5 x + 4) (3 x — 1)

В вашем практическом ответе факторы с переменными не обязательно должны быть перечислены в каком-либо определенном порядке, поскольку порядок не имеет значения для умножения.Но любой постоянный член, такой как «2», должен идти впереди. И многие книги предпочитают записывать повторяющиеся множители в экспоненциальной форме, например «( x — 5) ² » в моем окончательном ответе выше.

Между прочим, если у вас нет графического калькулятора, вам предстоит нелегкая дорога. Чтобы ответить на эти вопросы о факторинге, вы захотите начать с Rational Roots Test. Работая со списком, предоставленным тестом, вы захотите начать тестирование меньших целочисленных значений, обычно являющихся факторами постоянного члена, и работать оттуда.

Имейте в виду, что «решение» « x = a » означает, что у вас есть коэффициент « x — a ». Уберите все возможные множители и всегда продолжайте работу с тем, что остается меньшим и более простым полиномом. И сделайте быструю проверку, по крайней мере, нового постоянного члена, чтобы увидеть, есть ли тестовые значения, которые вы можете удалить по мере продвижения.

Вместо построения графиков есть уловка, которую вы можете использовать с синетическим делением, чтобы знать, когда прекратить переход к более высоким или более низким значениям теста.Кроме того, вам может быть полезно Правило знаков Декарта, поскольку оно может сказать вам о максимальном количестве положительных или отрицательных нулей, которые может иметь многочлен.

Я бы также посоветовал выполнять как можно больше практических задач, потому что, если вы серьезно потренировали эту конкретную ментальную мышцу, это может иметь большое значение в следующем тесте.

• Полностью множитель: 3

  x ⁶ -12 x ⁵ + 12 x ⁴ + 24 x ³ -96 x ² + 96 x

Я могу вытащить не только тройку спереди, но и x .Это оставляет мне фактор:

x ⁵ — 4 x ⁴ + 4 x ³ + 8 x ² -32 x + 32

Возможные нули полинома пятой степени (то есть степени пять) будут плюс и минус множители тридцати двух, или:

Я могу попробовать трюк, просто подключив его. x = –1:

–1 — 4 — 4 + 8 + 32 + 32 = 63

Даже близко нет.А как насчет x = 1?

1–4 + 4 + 8–32 + 32 = 9

Хорошо; Думаю, я попробую следующие большие возможности. А как насчет x = 2?

Наконец-то! Последняя строка выше говорит мне, что x = 2 — это ноль, поэтому ( x = 2) является множителем. Удалив этот фактор, у меня останется следующее:

Я заметил, что приведенные выше термины могут быть объединены в пары таким образом, чтобы я мог напрямую это учитывать:

( x ⁴ -2 x ³ ) + (8 x -16)

x ³ ( x -2) + 8 ( x -2)

( x -2) ( x ³ + 8)

Очевидно, x — 2 — еще один фактор.Итак, теперь я остался с кубиком. И это сумма кубов, поэтому я воспользуюсь этой формулой для завершения факторизации:

(Я помню, когда я узнал о суммах и разностях кубов, что квадратичный фактор не учитывается. Так что я знаю, что на этом закончил.)

Теперь я вернулся к началу и убедился, что уловил все факторы, которые вытащил на этом пути. Мой последний ответ:

3 x ( x — 2) ² ( x + 2) ( x ² -2 x + 4)

URL: https: // www.purplemath.com/modules/solvpoly2.htm

Факторинговые многочлены — алгебра и тригонометрия

Цели обучения

В этом разделе будут учащиеся:

• Разложите на множители наибольший общий делитель многочлена.
• Разложите на множители трехчлены.
• Фактор по группировке.
• Выложите множитель на множители полного квадрата.
• Выведите множитель разницы квадратов.
• Разложите множители на сумму и разность кубиков.
• Факторные выражения с использованием дробных или отрицательных степеней.

Представьте, что мы пытаемся найти площадь лужайки, чтобы определить, сколько семян травы нужно купить. Газон — это зеленая часть на (Рисунок).

Площадь всей области может быть найдена по формуле площади прямоугольника.

Площадь участков, не требующих семян травы, необходимо вычесть из площади всего региона.Каждая из двух квадратных областей имеет площадь единиц ² . Другая прямоугольная область имеет одну сторону длины и одну сторону длины, что дает площадь единиц ² . Таким образом, область, которую необходимо вычесть, имеет площадь единиц ² .

Площадь области, требующей семян травы, находится с помощью единиц вычитания ² . Эта площадь также может быть выражена в факторизованной форме как единицы ² . Мы можем подтвердить, что это эквивалентное выражение, умножив.

Многие полиномиальные выражения могут быть записаны в более простой форме с помощью факторизации.В этом разделе мы рассмотрим различные методы, которые можно использовать для факторизации полиномиальных выражений.

Разложение на множители трехчлена идеального квадрата

Полный квадрат трехчлена — это трехчлен, который можно записать как квадрат двучлена. Напомним, что когда бином возводится в квадрат, результатом является квадрат первого члена, добавленный к удвоенному произведению двух членов и квадрата последнего члена.

Мы можем использовать это уравнение, чтобы разложить на множители любой трехчлен полного квадрата.

Трехчлены идеального квадрата

Полный квадрат трехчлена может быть записан как квадрат двучлена:

Как к

Разложите на множитель квадрата трехчлена на квадрат двучлена.

1. Подтвердите, что первый и последний член являются точными квадратами.
2. Подтвердите, что средний член в два раза больше произведения
3. Запишите факторизованную форму как

Разложение на множители трехчлена идеального квадрата

Фактор

Попробуйте

Фактор

[/ hidden-answer]

Факторизация квадратов

Разность квадратов — это полный квадрат, вычитаемый из полного квадрата.Напомним, что разность квадратов может быть переписана как множители, содержащие одинаковые члены, но противоположные знаки, потому что средние члены компенсируют друг друга при умножении двух множителей.

Мы можем использовать это уравнение, чтобы разложить на множители любые разности квадратов.

Различия квадратов

Разность квадратов можно переписать как два множителя, содержащих одинаковые члены, но противоположные знаки.

Как к

Разложите на разность квадратов на биномы.

1. Подтвердите, что первый и последний член являются точными квадратами.
2. Запишите факторизованную форму как

Факторизация квадратов

Фактор

Попробуйте

Фактор

83 ″] Показать решение [/ show-answer]
[скрытый-ответ a = ”fs-id116733

83 ″]

[/ hidden-answer]

Есть ли формула для разложения суммы квадратов на множители?

№Сумму квадратов нельзя разложить на множители.

Факторизация суммы и разности кубов

Теперь мы рассмотрим два новых специальных продукта: сумму и разность кубиков. Хотя сумма квадратов не может быть разложена на множители, сумма кубов может быть разложена на бином и трехчлен.

Точно так же сумму кубов можно разложить на двучлен и трехчлен, но с разными знаками.

Мы можем использовать аббревиатуру SOAP, чтобы запомнить знаки при разложении суммы или разности кубов.Первая буква каждого слова относится к знакам: S ame O pposite A lways P ositive. Например, рассмотрим следующий пример.

Знак первых 2 — это тот же , что и знак между. Знак термина напротив знак между И знак последнего члена, 4, всегда положительный .

Сумма и разность кубов

Сумму двух кубов можно разложить на

Мы можем разложить два куба на множители как

Как к

Сумма кубиков или разность кубов, умножьте ее на множители.

1. Подтвердите, что первый и последний член являются кубиками, или
2. Для суммы кубов запишите факторизованную форму как Для разности кубов запишите факторизованную форму как

Попробуйте

Вычислим сумму кубиков:

[/ hidden-answer]

Факторизация кубиков

Фактор

Анализ

Как и в случае с суммой кубиков, мы не сможем дополнительно разложить на множители трехчленную часть.

Попробуйте

Фактор разницы кубиков:

13 ″] Показать решение [/ show-answer]
[скрытый-ответ a = ”fs-id116733

13 ″]

[/ hidden-answer]

Ключевые уравнения

• Наибольший общий множитель, или GCF, может быть выделен из полинома.Проверка GCF должна быть первым шагом в любой проблеме факторинга. См. (Рисунок).
• Трехчлены со старшим коэффициентом 1 можно разложить на множители, найдя числа, у которых есть произведение третьего члена и суммы второго члена. См. (Рисунок).
• Трехчлены можно разложить на множители с помощью процесса, называемого факторингом по группировке. См. (Рисунок).
• Трехчлены полного квадрата и разность квадратов являются специальными произведениями и могут быть разложены на множители с помощью уравнений. См. (Рисунок) и (Рисунок).
• Сумма кубиков и разность кубов можно разложить на множители с помощью уравнений. См. (Рисунок) и (Рисунок).
• Полиномы, содержащие дробные и отрицательные показатели степени, можно разложить на множители, вытащив GCF. См. (Рисунок).

Устный

Если члены многочлена не имеют ОКФ, означает ли это, что его нельзя факторизовать? Объяснять.